Mathématiques du backgammon : 36 combinaisons de dés, comptage des coups et équité
Le cœur mathématique du backgammon. Maîtrisez l'espace de résultat à 36 dés, les règles de calcul des tirs directs et indirects, la saisie des probabilités à partir de la barre, la valeur attendue et la formule mathématique de l'équité.
Interactive Position & Tactical Setup
Point de Décision du Dé Doubleur
Assessing the Take-Point Threshold (145 vs 177 Pips)
Strategic Insight & Key Lesson
A pivotal mid-game cube decision where Player 1 has doubled. Player 2 must evaluate winning probability against the take-point threshold, weighing gammon risks and live cube option equity.
Key Strategic Takeaways
- Il y a exactement 36 résultats équiprobables lorsque l’on lance deux dés à six faces : 6 doubles (1/36 chacun) et 15 non-doubles (2/36 chacun).
- Un tir direct (distance 1 à 6 pips) donne toujours un minimum de 11 lancers touchants sur 36 (probabilité de 30,6%).
- La réentrée depuis la barre contre un tableau fermé à 5 points se produit sur seulement 11 lancers sur 36 (30,6 % de réussite ; 69,4 % de taux de danse).
- L'équité du jeu est la valeur attendue en points : Equity = P(win) - P(loss) + GammonsWon - GammonsLost.
L'espace d'échantillonnage : 36 résultats de dés ordonnés
Les mathématiques des dés de backgammon sont basées sur un espace échantillon fini d'exactement 6 × 6 = 36 résultats ordonnés également probables.
Parce que les dés sont des objets physiques indépendants (imaginez un dé rouge et un dé vert) :
• Doubles (1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6) : se produisent dans un seul ordre spécifique chacun. Probabilité = 1/36 = 2,78 % chacun. Probabilité totale de double = 6/36 = 1/6 (16,67 %).
• Non-doubles (par exemple, 5-3) : peuvent se produire de deux manières distinctes : (Rouge 5, Vert 3) ou (Rouge 3, Vert 5). Probabilité = 2/36 = 1/18 = 5,56 % chacun.
Cette asymétrie fondamentale explique pourquoi il est deux fois plus probable d’obtenir une combinaison exacte non double que d’obtenir un double exact.
Comptage des tirs directs (Distances 1 à 6)
Un « tir direct » est une tache exposée située entre 1 et 6 cases d'un pion adverse qui peut être frappée avec une seule valeur de dé.
Règle universelle de tir direct : si vous laissez une tache entre 1 et 6 pips d'un pion adverse actif, l'adversaire dispose d'au moins 11 combinaisons de frappe directe sur 36 (30,6 % de chances), en supposant que les points intermédiaires ne bloquent pas les dés.
Pourquoi 11 combinaisons ? Prendre une distance directe de 4 pips : Les jets de frappe sont toutes les combinaisons avec un 4 au dé 1 (6 lancers : 4-1, 4-2, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6) plus toutes les combinaisons avec un 4 au dé 2 (5 lancers supplémentaires : 1-4, 2-4, 3-4, 5-4, 6-4). 6 + 5 = 11 rouleaux.
Notez que les combinaisons indirectes (telles que 2-2, 1-3, 3-1) peuvent ajouter encore plus de coups sûrs en plus des tirs directs de base 11 !
| Distance (pips) | Rouleaux directs | Rouleaux indirects/combinés | Nombre total de visites / 36 | Probabilité de réussite (%) |
|---|---|---|---|---|
| 1 point (pip) | 11 (n'importe quel 1) | Aucun | 11 / 36 | 30,6% |
| 2 points (pips) | 11 (2 au choix) | 1-1 | 12 / 36 | 33,3% |
| 3 points (pips) | 11 (3 au choix) | 1-2, 2-1, 1-1 | 14 / 36 | 38,9% |
| 4 points (pips) | 11 (4 au choix) | 2-2, 1-3, 3-1, 1-1 | 15 / 36 | 41,7% |
| 5 points (pips) | 11 (5 au choix) | 1-4, 4-1, 2-3, 3-2 | 15 / 36 | 41,7% |
| 6 points (pips) | 11 (6 au choix) | 1-5, 5-1, 2-4, 4-2, 3-3, 2-2 | 17 / 36 | 47,2% |
| 7 points (pips) | Aucun | 6-1, 1-6, 5-2, 2-5, 4-3, 3-4 | 6 / 36 | 16,7% |
| 8 points (pips) | Aucun | 6-2, 2-6, 5-3, 3-5, 4-4, 2-2 | 6 / 36 | 16,7% |
| 9 points (pips) | Aucun | 6-3, 3-6, 5-4, 4-5, 3-3 | 5 / 36 | 13,9% |
Cotes d'entrée au bar : les mathématiques de la danse
Lorsque votre pion est sur la barre, quelle est la probabilité que vous entriez contre des points fermés adverses ?
La formule pour entrer avec un pion contre N points fermés du home board est calculée en soustrayant les combinaisons d'échecs :
• 1 point fermé : Echec = 1/6 × 1/6 = 1/36. Probabilité d'entrée = 35/36 (97,2%).
• 2 points fermés : Échec = 2/6 × 2/6 = 4/36. Probabilité d'entrée = 32/36 (88,9%).
• 3 points fermés : Échec = 3/6 × 3/6 = 9/36. Probabilité d'entrée = 27/36 (75,0 %).
• 4 points fermés : Échec = 4/6 × 4/6 = 16/36. Probabilité d'entrée = 20/36 (55,6 %).
• 5 points fermés : Échec = 5/6 × 5/6 = 25/36. Probabilité d'entrée = 11/36 (30,6%). Taux de danse = 69,4% !
• 6 points clôturés (Full Closeout) : Échec = 36/36. Probabilité d'entrée = 0%. Forfait complet du tour.
De la probabilité à l’équité : calculer la valeur attendue
Le pourcentage de gains à lui seul est une mesure incomplète dans le backgammon car les jeux peuvent se conclure par des victoires simples (+1), des gammons (+2) ou des backgammons (+3).
Pour prendre des décisions optimales, la théorie du backgammon évalue « Cubeless Equity » (E), défini comme le rendement net attendu d'une position avant de doubler les considérations :
• Distinction mathématique cruciale : Gammons inconditionnels et conditionnels :
- Dans les rapports d'évaluation mathématique formels et la formule ci-dessus, W_g et L_g désignent des probabilités de jeu INCONDITIONNELLES sur tout l'espace échantillon : W_g = P (Gagner et Gammon) et L_g = P (Perdre et Gammon).
- Dans le discours informel des joueurs, le « taux de gammon » est fréquemment cité CONDITIONNELLEMENT : P(Gammon | Win) = W_g / W. La confusion des taux de gammon conditionnels et inconditionnels conduit à de graves erreurs de calcul des capitaux propres.
- Exemple : Si votre chance totale de gagner est W = 60 % et que 25 % de vos gains sont des gammons, votre probabilité inconditionnelle de gammon est W_g = 0,60 × 0,25 = 0,15 (15%), PAS 25 % !
• Effets du backgammon (W_bg, L_bg) : dans le jeu de contact standard, les backgammons représentent des résultats rares (généralement < 1 % à 2 %, sauf dans les positions de confinement profondes), mais ils ajoutent +1 point supplémentaire au-dessus d'un gammon (+3 points au total).
Exemple de calcul : Si vous avez 60 % de chances de gagner (avec 12 % de gammons inconditionnels et 1 % de backgammons) et 40 % de chances de perdre (avec 6 % de gammons inconditionnels et 0 % de backgammons), votre équité sans cube est :
Tactical Check: Test Your Comprehension
Select candidate plays and verify your tactical reasoning against engine rollout analysis.
